Con regla y compás

Publicado por Miguel Rubio

Fue el día 29 de marzo de 1796, durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación numérica……..Carl Friedrich Gauss

Los matemáticos de la antigua Grecia sabían cómo construir un polígono regular con 3, 4 o 5 lados utilizando sólo regla y compás, y también sabían construir un polígono regular con el doble de lados de un polígono regular dado.

Tal vez el polígono regular más sencillo para construir con regla y compás sea el hexágono. A la derecha podemos ver su construcción en 11 pasos.

Para ellos era un ejercicio intelectual: se supone que la regla no está graduada y tiene un solo borde, aunque es de longitud infinita, y que el compás no conserva la medida una vez se levanta del papel y sólo puede abrirse entre puntos que hayan sido construidos con anterioridad. Cuando hablamos de construcciones con regla y compás entendemos que estas son las reglas del juego.

El primero en demostrar que es posible construir un polígono regular de 17 lados con regla y compás fue Gauss, y lo hizo en 1796, a los 19 años de edad.

La demostración de Gauss no era constructiva. Fue Johannes Erchinger quien por primera vez enunció un método para construirlo en 64 pasos.

Fue a partir de la teoría de los períodos gaussianos que se pudo encontrar una condición necesaria y suficiente para que un polígono regular se pueda construir con regla y compás.

La constructibilidad de un polígono está relacionada con los primos de Fermat. Un número de Fermat es un número de la forma:

donde n es un entero no negativo.

Estos números fueron estudiados por el matemático francés Pierre de Fermat, conocido como el príncipe de los aficionados, ya que de profesión era jurista.

Fermat conjeturó que todos estos números eran primos, pero en 1732 Leonhard Euler encontró que F5 es divisible por 641.

Si Fn es un número primo, se denomina primo de Fermat. En la actualidad se conocen 5 primos de Fermat:

  • F0 = 3
  • F1 = 5
  • F2 = 17
  • F3 = 257
  • F4 = 65.537

Los siguientes números de Fermat desde F5 hasta F32 se sabe que son compuestos, pero solo se conoce su factorización completa hasta el F11.

De acuerdo con el teorema de Gauss-Wantzel, Un polígono regular con n lados se puede construir con regla y compás si y solo si n es el producto de una potencia de 2 y un número finito de primos de Fermat distintos.

Con los 5 primos de Fermat conocidos se pueden formar 31 productos distintos (desafío al lector a comprobarlo), por lo tanto la cantidad de polígonos construibles conocidos con un número impar de lados es 31.

Claro que la construcción de algunos de ellos puede ser muy laboriosa:

Construcción de un polígono regular de 257 lados

El matemático alemán Johann Gustav Hermes, después de 10 años de trabajo, presentó en 1894 , en un manuscrito de 200 páginas, un procedimiento para construir un polígono regular de 65.537 lados.

Las construcciones con regla y compás no se circunscriben únicamente a los polígonos.

Es sencillo trazar rectas que pasen por dos puntos dados, y circunferencias dados el centro y un punto de paso, así como trazar perpendiculares o encontrar el punto medio de un segmento. A la derecha se puede ver un procedimiento para trazar la mediatriz de un segmento.

Es posible encontrar las intersecciones entre rectas y circunferencias y trazar la bisectriz de un ángulo.

Pero no todos los problemas se pueden resolver. Los griegos se plantearon problemas más complejos, algunos de los cuales son irresolubles. Entre ellos hay tres problemas clásicos, conocidos como problemas délicos:

  • La cuadratura del círculo.
  • La duplicación del cubo.
  • La trisección del ángulo.

Estos problemas fueron planteados hace unos 2400 años por los griegos, estando vigente la Liga de Delos, y el nombre de problemas délicos se aplica originalmente a la duplicación del cubo (y luego por extensión a los tres) debido a los escritos de Plutarco:

“Era el oráculo éste: Los males presentes de los delios y de los demás helenos terminarán cuando dupliquen el altar de Delos.” 

Se cuenta que  Hipócrates de Quíos, redujo la duplicación del cubo al problema de, dados a y b, encontrar x e y tales que a, x, y, b formen una progresión geométrica. de esta forma, si 1, x, y, 2 están en progresión geométrica, entonces x es la raíz cúbica de 2 (el lector interesado puede comprobarlo fácilmente) y el cubo de arista x tiene el doble volumen que el de arista 1. De todas formas esta construcción es imposible con las restricciones impuestas por los griegos.

El matemático francés Pierre Laurent Wantzel publicó en 1837 la primera demostración de que es imposible duplicar un cubo o trisecar un ángulo con regla y compás ( ya mencionamos el teorema de Gauss-Wantzel más arriba).

El matemático italiano Lorenzo Mascheroni publicó en 1797 una obra en verso dedicada a Napoleón Bonaparte (quien era aficionado a las matemáticas: existe incluso un resultado conocido como teorema de napoleón) denominada La geometría del compasso donde demostró el siguiente teorema:

«Todos los problemas de construcción que se resuelven con ayuda del compás y la regla, pueden resolverse con precisión empleando solo un compás»

El teorema de Poncelet–Steiner establece que todas las construcciones realizables con regla y compás pueden realizarse únicamente con regla utilizando una sola vez el compás.

Arquímedes y Apolonio de Pérgamo realizaron construcciones utilizando una regla con marcas lo que les permitió realizar una construcción geométrica denominada neusis, con lo que se extendió la geometría de Euclides, que no permitía este tipo de construcciones.

Se ha desarrollado también en los últimos años una teoría matemática del origami basada en los axiomas Huzita – Hatori.

Básicamente, hay tres reglas matemáticas fundamentales para producir patrones de plegado plano:

  • Teorema de Maekawa: en cualquier vértice, el número de pliegues de valles y montañas siempre difiere en dos.
  • Teorema de Kawasaki: el número de pliegues de las montañas en un vértice plegado plano difiere del número de pliegues del valle en exactamente dos pliegues.
  • Una hoja nunca puede penetrar un pliegue.

Un pliegue es básicamente una simetría, por lo que puede estudiarse metodológicamente en términos geométricos.

Nuevamente, el arte y la matemática vuelven a encontrarse.

20 marzo, 2019 Geometría Matemáticos Teoremas 1

 

Un comentario

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