Conjeturemos un pelín

Publicado por Miguel Rubio

Esta entrada participa en la Edición 11.6: Conjeturas del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

Para que una afirmación en Matemática sea válida debe ser demostrada, algo en lo que matemáticos notables como Thales de Mileto y Bolzano pusieron especial énfasis. Sin embargo, a veces un matemático está plenamente convencido de una propiedad que no puede demostrar rigurosamente, pero de la cual está tan seguro que la anuncia públicamente: es lo que llamamos una conjetura.

Con el correr de los años, y a veces de los siglos, estas conjeturas pueden ser demostradas por otros matemáticos, como es el caso del último teorema de Fermat, o refutadas, es decir, se demuestra su falsedad, como es el caso de la conjetura de Steinberg. Sea como sea el resultado final, hay conjeturas que más allá de su importancia intrínseca han aportado en el proceso de su demostración (o refutación) nuevos resultados que trascienden el alcance de su enunciado original.

Cuando David Hilbert presentó su famosa lista de problemas le preguntaron qué es lo primero que quisiera saber al despertar si se durmiera durante 100 años, y el respondió que si ya habían demostrado la conjetura de Riemann. Pues bien, todavía estamos esperando…..

Una de las que más se extendieron en el tiempo es la conjetura del panal de abejas, que afirma que el reticulado hexagonal (el de los panales de abejas) es la mejor manera de dividir una superficie en regiones de igual área y con el mínimo perímetro total. La conjetura fue enunciada por el funcionario romano Marcus Terencio Varrón en el año 36 a.C., aunque algunos historiadores afirman que es anterior.

También fue Thomas Hales quien demostró varios siglos después la conjetura de Kepler (el de las leyes sobre el movimiento de los planetas). Esta conjetura forma parte del decimoctavo problema de Hilbert.

Hales resolvió en 2002 la conjetura con la ayuda de ordenadores, casi 400 años después. En enero de 2003, anunció el inicio de un proyecto colaborativo para producir una prueba formal completa de la conjetura de Kepler, la cual había sido aceptada al 99%: la duda estaba con el software utilizado.

En enero de 2015 presentó un documento titulado «Una prueba formal de la conjetura de Kepler», junto a un equipo de 21 colaboradores. La prueba formal fue aceptada en su totalidad en 2017.

Hay varias conjeturas interesantes relacionadas con la teoría de grafos. La más popular es la que actualmente se conoce como teorema de los cuatro colores. Pero no todas las conjeturas relacionadas con la teoría de grafos fueron acertadas.

En 1880 el matemático escocés Peter Guthrie Tait conjeturó que todo grafo plano 3-regular tiene algún circuito hamiltoniano. Esta conjetura la refutó William Thomas Tutte, quien encontró un contra-ejemplo con 25 caras, 69 aristas y 46 vértices actualmente conocido como grafo de Tutte.

El mismo William Tutte conjetura en 1971 que todos los grafos bicúbicos son ciclos hamiltonianos. Esta conjetura fue refutada por el prestigioso matemático británico John Horton Conway (quien falleció el pasado abril a la edad de 82 años, víctima del COVID-19) mediante un contraejemplo de 96 vértices.

Otra conjetura interesante es la del corredor solitario. Imaginemos una cantidad n de corredores sobre un circuito circular, que parten todos juntos desde el mismo punto con velocidades constantes diferentes cuyos valores son números enteros positivos.. Diremos que un corredor está solitario durante un tiempo t, si durante ese tiempo su distancia sobre la circunferencia con cualquier otro corredor es al menos 1/n.

La imágen anterior muestra el caso n=7. La conjetura, enunciada por J. M. Wills en 1967, afirma que cada uno de los corredores esta solitario en algún momento. Actualmente está probada su validez para n<8. La siguiente tabla señala la cronología de las respectivas pruebas:

De todas las conjeturas sobre números primos una de las más conocidas y más fácil de comprender para todo el mundo es la de los primos gemelos. Dos números primos son gemelos si uno se obtiene del anterior sumándole 2. Por ejemplo, 17 y 19 , 41 y 43 o 821 y 823. La conjetura en cuestión afirma que existe una cantidad infinita de números primos gemelos.

Una característica notable de los primos gemelos es que el número intermedio entre dos primos gemelos siempre es múltiplo de 6. Sin embargo no todos los números múltiplos de 6 están entre dos números primos.

Pero si hay una propiedad que equivale a que dos números n y n+2 sean primos, y es que el número:

4((n-1)! + 1) + n

sea divisible por el producto de n y n+2. En 1940, Erdös demostró que existe una constante c < 1 e infinitos primos p tales que q – p < c·ln(p), donde q es el primo siguiente a p. En 2005 Daniel Goldston, János Pintz y Cem Yildirim probaron que este resultado es válido para cualquier constante c positiva.

La idea generalizada entre todos los matemáticos es que la conjetura es cierta, pero esto aún no se ha podido demostrar.

Al comenzar esta entrada he mencionado que una conjetura con el transcurso del tiempo puede ser demostrada o refutada. Sin embargo, estas no son las únicas posibilidades. En algunos casos llegó a demostrarse que una determinada conjetura no puede ser demostrada ni refutada. En estos casos dichas conjeturas o su negación se incorporan como un axioma.

Tal es el caso, por ejemplo, del axioma de elección, o de la hipótesis del continuo.

Básicamente, el axioma de elección afirma que dada una colección de conjuntos no vacíos, podemos elegir un elemento de cada conjunto. Aunque en un primer momento parece más que evidente, ya no lo es si se lo aplicamos a una colección infinita de conjuntos.

Si tenemos infinitas cajas de pares de zapatos, podemos enunciar un criterio que nos permita elegir un zapato de cada caja: podemos por ejemplo elegir en cada caja el zapato izquierdo. Pero si tenemos infinitos pares de calcetines: cómo hacemos para decidir cuál elegir de cada par. No podemos hacerlo uno a la vez porque son infinitos y no terminaríamos nunca.

El axioma de elección se usaba implícitamente antes de que Zermelo lo enunciara, pero nunca fue probado ni refutado: era una conjetura en toda regla, aunque no había sido anunciada como tal. De los trabajos sobre el tema de los matemáticos Paul Cohen y Kurt Gödel principalmente, se deduce que el axioma de elección no puede ser demostrado ni refutado en el marco de los demás axiomas de la teoría de conjuntos por lo que se lo incorpora como un axioma más en la teoría standar de conjuntos (la de Zermelo-Fraenkel).

En cuanto a la hipótesis del continuo la situación es similar. Fué enunciada por Cantor en su trabajo sobre los números transfinitos, a los que me he referido en una entrada anterior. También es uno de los famosos problemas de Hilbert. Básicamente, la hipótesis del continuo afirma que no existen conjuntos cuyo tamaño (su cardinalidad) esté comprendido entre el de los números naturales y el de los números reales.

En 1940 Kurt Gödel demostró que la hipótesis del continuo no podía refutarse, y en 1963 Paul Cohen demostró que no es consecuencia de los demás axiomas de la teoría standar de conjuntos, y por lo tanto no podía demostrarse.

Las imágenes las tomé de aquí, de aquí, de aquí, de aquí, de aquí y de aquí,