El maestro de los matemáticos

Publicado por Miguel Rubio

Ya he mencionado en un artículo anterior cómo Leonhard Paul Euler creó la teoría de grafos: «El trabajo de Leonhard Euler sobre el problema titulado La solución de un problema relativo a la geometría de la posición , es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. También se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría.» Por ejemplo, dicha teoría es la que permitió demostrar el teorema de los cuatro colores:

Colorear las regiones de un mapa es equivalente a colorear los vértices de un grafo.

En 1909 la Academia Suiza de Ciencias decide publicar las obras completas de Euler,designando para tal tarea a Ferdinand Rudio, matemático e historiador de las matemáticas.

Como matemático, trabajó en álgebra y geometría, especialmente en teoría de grupos. Su trabajo más importante como historiador fue la publicación de las obras de Euler: propuso el proyecto en 1883 (centenario de la muerte de Euler), pero este no fue aprobado hasta 1909.

Rudio fue el editor general del proyecto, que comenzó a publicarse en 1911 bajo el nombre de Opera Omnia, el mismo edito dos volúmenes, colaboró en la edición de otros tres y supervisó la producción de más de 30 volúmenes.

La Opera Omnia consiste en un total de 84 volúmenes, divididos en cuatro series:

  • Serie I_ Matemáticas: 29 volúmenes.
  • Serie II_Mecánica y Astronomía: 31 volúmenes.
  • Serie III_Física y misceláneas: 12 volúmenes.
  • Serie IV_Manuscritos y correspondencia: 12 volúmenes.

Hasta donde yo se, en la actualidad se han publicado 80 volúmenes, y de los 4 restantes se están preparando 3. Un índice completo de la Opera Omnia puede verse aquí. La mayoría de los volúmenes tienen más de 300 páginas, aunque algunos superan las 700. Indiscutiblemente, Euler fue el matemático más prolífico de toda la historia, comparable solo a Paul Erdős, de quien he escrito también un artículo.

Desde 2011 la Asociación Matemática de América aloja una web (el archivo de Euler) desde donde se puede acceder a más de 850 páginas con información, correspondencia y publicaciones originales de Euler.

Pero Euler no destaca sólo por la cantidad que produjo, sino también por la calidad: la obra de Euler está llena de originalidad e imaginación, en palabras de Laplace: «lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros:»

Euler perdió la visión de un ojo antes de los 30 años, y quedó completamente ciego antes de los 60. Sin embargo, luego de quedar ciego, continuó publicando numerosos trabajos, que dictó a sus hijos (tuvo 13 hijos de los cuales solo 5 llegaron a la edad adulta) o a su asistente el matemático suizo Nikolaus Fuss, esposo de la nieta de Euler.

Solo es posible aquí ver resumidamente algunos de los aportes más importantes de Euler. Comencemos por la teoría de números, concretamente por los números perfectos.

Euclides, en el libro IX de sus Elemento, enuncia su proposición 36:

«Si tantos números como se quiera a partir de una unidad se disponen en proporción duplicada hasta que su suma total resulte un número primo, y si la suma multiplicada por el último produce algún número, el producto será un número perfecto.»

En términos actuales el teorema se enuncia:

Si 2k-1 es primo, entonces 2k-1(2k-1) es perfecto.

Euclides demuestra de esta forma una condición suficiente para que un número sea perfecto. Los números de la forma 2k-1 se llaman números de Mersenne en honor al matemático francés Marin Mersenne que los estudió intensivamente. Cuando uno de estos números es primo se denomina primo de Mersenne.

En la actualidad se conocen 51 primos de Mersenne, el mayor de los cuales tiene mas de 24 millones de cifras.

Euler completa este teorema de Euclides demostrando una condición necesaria para los números perfectos pares:

«Si n es un número perfecto par, entonces N=2k-1(2k-1) , donde 2k-1 es primo.»

Para demostrarlo definió la que hoy se conoce como función de Euler:

que representa la suma de todos los números naturales que son divisores de n.

En cuanto a los números perfectos impares, hoy en día ni siquiera se sabe si existen.

Demostró que 231 – 1 = 2 147 483 647 es un número primo de Mersenne que permaneció como el número primo más grande conocido hasta 1867. También demostró la divergencia de la suma de los inversos de los números primos.

Fue el primero en enunciar el teorema de reciprocidad cuadrática, uno de los resultados más importantes de la teoría de números.

En 1742 Euler lo enuncia como una conjetura en una carta a Goldbach, y en 1801 fue demostrado por Gauss. El teorema se refiere a las congruencias:

{\displaystyle y^{2}\equiv q{\pmod {p}}}
{\displaystyle x^{2}\equiv p{\pmod {q}}}

«Si ninguno de los primos p o q pertenece a la sucesión 4k+1 entonces una de las congruencias tiene solución si y sólo si la otra no tiene solución. Si alguno de los primos pertenece a la sucesión 4k+1 entonces o bien ambas congruencias tienen solución o bien ninguna de las dos tiene solución.»

Descubrió los polinomios (denominados polinomios de Euler):

n^2+n+p

que generan números primos distintos para valores de n desde 0 a p-2 si p es uno de los llamados números afortunados de Euler: 2, 3, 5, 11, 17 o 41.

El teorema de Euler para poliedros establece una relación entre los números de caras (C), aristas (A) y vértices (V) que se cumple para todo poliedro convexo: C + V = A + 2.

Demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos variables y que en todo triángulo no equilátero el ortocentro, el baricentro y el circuncentro pertenecen a una misma recta (conocida hoy como recta de Euler):

ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera, inventó lo que se conoce como las aproximaciones de Euler para el cálculo de integrales y descubrió la constante de Euler-Mascheroni:

Euler halló su valor con 16 cifras decimales.

En 1751, publicó su teoría de logaritmos de números complejos y en 1777, descubrió las ecuaciones hoy conocidas como de Cauchy-Riemann.

Realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra (entre otras cosas, redujo la ecuación cúbica a una bicuadrada), la trigonometría (fue el primero en considerar al seno, coseno y tangente como funciones), la geometría analítica y la teoría de ecuaciones. En su obra Introducción al Análisis de los Infinitos, trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente.

Encontró la fórmula de sumación hoy conocida como de Euler-McLaurin y demostró el último teorema de Fermat para n = 3, donde introdujo los números algebraicos.

Revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominada identidad de Euler: ex+iy = ex (cos y + i sen y)

Afirmó que los cuerpos celestes giran alrededor del Sol en órbitas elípticas y formuló siete leyes fundamentales sobre el sistema solar.

Realizó trabajos sobre música, magnetismo, cartografía, máquinas de vapor, construcción de barcos y ciencias de la educación.

Euler murió en San Petersburgo, el 18 de septiembre de 1783.

28 marzo, 2019 Álgebra Geometría Grafos Matemáticos Números Superficies 6

 

6 comentarios

  1. […] Muere en San Petersburgo Leonardo Euler, de quien he escrito ya un artículo aquí. […]

  2. […] Erdős es uno de los matemáticos más prolíficos de la historia, solo comparable con Leonhard Euler: trabajó en problemas sobre teoría aditiva de los números, combinatoria, análisis clásico, […]

  3. […] conjeturó que todos estos números eran primos, pero en 1732 Leonhard Euler encontró que F5 es divisible por […]

  4. […] en el siglo XVIII el matemático Leonhard Euler (el de los puentes de Köningsberg) demostró que todos los números perfectos pares son generados […]

  5. […] Kaliningrado, Rusia. En sus viajes por Europa conoció a matemáticos como  Gottfried Leibniz, Leonhard Euler y Daniel […]

  6. […] historia comenzó cuando el matemático Leonhard Euler en 1736 visitó la ciudad de Königsberg, en Prusia Oriental, que actualmente es la ciudad rusa de […]

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