El programa de Erlangen

Publicado por Miguel Rubio

Aproximadamente en el año 300 a. C., el matemático griego Euclides escribe su obra conocida como los elementos, sentando las bases de un método para el estudio de las propiedades del espacio que con el tiempo se conoció también con el nombre de geometría sintética, en contraposición a la geometría analítica creada por Fermat y Descartes en la primera mitad del siglo XVII y basada en la introducción de coordenadas numéricas. (cabe mencionar que el matemático persa Omar Khayyam en el siglo XI utilizó un método similar para determinar ciertas intersecciones entre curvas).

Por otro lado, en 1639 el matemático francés Girard Desargues fundamentó matemáticamente los métodos de la perspectiva que habían desarrollado los artistas del Renacimiento, creando lo que se conocería posteriormente como geometría proyectiva.

El desarrollo de estos métodos aplicados a la arquitectura por un lado y a la creación artística por otro generaría luego lo que se conoce como geometría descriptiva, algo así como el santo grial de los delineantes, un conjunto de técnicas y métodos geométricos que permite representar figuras del espacio tridimensional en el plano.

Al no usar la noción de distancia, la aplicación de los métodos proyectivos recibe también el nombre de geometría de incidencia.

También aparecen en escena las denominadas geometrías no euclidianas, cuando Nikolái Lobachevski, János Bolyai y Bernhard Riemann independientemente y por distintos caminos crean geometrías donde no se cumple el postulado de las paralelas de Euclides.

Con el desarrollo del cálculo infinitesimal y la topología nacen también la geometría diferencial y la geometría combinatoria entre otras. Además de las geometrías finitas, que consisten en una cantidad finita de puntos, y que se definen a partir del álgebra lineal. También con el transcurso del tiempo aparecen términos como geometría algebraica, geometría topológica, etc.

Ante este desorden en la denominación de las distintas geometrías sin un principio rector que las clasifique más que la idea intuitiva de lo que cada una trata, el matemático alemán Félix Klein presenta a mediados del siglo XIX una memoria conocida como el programa de Erlangen, y que marca un antes y un después en la historia de la geometría.

Erlangen fue fundada en 1002 con el nombre de «Villa Erlangon». En 1743 se traslada a Erlangen la Universidad de Bayreuth, que pasa a llamarse Universidad de Erlangen-Núremberg.

En marzo de 1882 nació en Erlangen la matemática Emmy Noether, conocida por sus contribuciones en la física teórica y el álgebra abstracta.

El lector interesado puede encontrar más información sobre ella en este artículo sobre las mujeres matemáticas.

La Universidad de Erlangen-Núremberg es la universidad de las ciudades de Erlangen y Núremberg en Baviera, Alemania.

Es la segunda universidad de Baviera tiene cinco facultades con 579 profesores, y actualmente cursan en ella unos 40.000 estudiantes, de los cuales aproximadamente la mitad son mujeres y unos 2.500 son extranjeros.

En 1872, tras ingresar como profesor en la Universidad de Erlangen, Félix Klein pronuncia una conferencia inaugural en la que ofreció una visión general de la geometría desde el punto de vista de la teoría de grupos

Cada geometría podía ser explicada mediante la teoría de los invariantes según un grupo particular de transformaciones.

En que consiste el programa de Erlangen?

En enero de 1831, el matemático francés Évariste Galois escribe una memoria sobre la resolución de ecuaciones polinómicas mediante radicales, exponiendo unos métodos novedosos que sentarían las bases de la actual teoría de grupos.

Un grupo es una estructura matemática compuesta por un conjunto no vacío y una operación asociativa entre sus elementos, con un elemento neutro y donde cada elemento tiene un simétrico. Los grupos sirven como base de otras estructuras algebraicas más elaboradas como los anillos, los cuerpos o los espacios vectoriales.

La teoría de grupos tiene muchas aplicaciones en el campo de la física y la química, especialmente la cristalografía, y es fundamental en el estudio de la simetría. Además se aplican en astrofísica, solución de acertijos geométricos, en los códigos binarios, en programación informática y en criptografía. Una gran variedad de técnicas topológicas pueden ser aplicadas desde que se sabe que es posible construir siempre un espacio topológico tal que el grupo fundamental de este espacio sea grupo dado.

En la década de 1870 el matemático noruego Marius Sophus Lie realiza un estudio de los grupos continuos, conocidos hoy como grupos de Lie.

Lie descubrió que los grupos continuos de transformaciones son la herramienta idónea para describir la simetría de las estructuras analíticas.

Tal vez influenciado por las ideas de Lie, Klein da una respuesta definitiva a la pregunta: qué es la Geometría?

Para Klein, cada geometría es el estudio de las propiedades que no cambian cuando se les aplica un grupo determinado de transformaciones. Estas propiedades que no cambian se denominan invariantes.

Por ejemplo:

  • La geometría euclidiana es el estudio de los invariantes mediante el grupo de los movimientos rígidos (traslaciones, giros y reflexiones), los cuales conservan las distancias entre los puntos y la medida de los ángulos.
  • la geometría afín es el estudio de las propiedades geométricas que permanecen inmutables bajo las transformaciones afines (un tipo de geometría donde la noción de ángulo está indefinida y las distancias no pueden ser comparadas). En el lenguaje del Programa de Erlangen la geometría afín está dada por el grupo de transformaciones generadas por las transformaciones lineales de un espacio vectorial en sí mismo mediante la traslación por un vector.
  • La geometría topológica, o geometría de la lámina de goma, estudia las propiedades geométricas que se conservan por la aplicación de un homeomorfismo (una deformación continua, sin cortes ni desgarros), es decir, está definida por el grupo de los homeomorfismos.

No es la geometría la que define el grupo, sino al revés: el grupo es el que genera la geometría. Este punto de vista que introduce Klein no sólo permite clasificar las distintas geometrías, sino que además demuestra que los distintos métodos (sintético, analítico, descriptivo, algebraico…) no generan distintas geometrías, sólo presentan distintas formas de estudiar la misma geometría.

Por primera vez en la historia, una ciencia es capaz de definirse a sí misma.

9 marzo, 2019 Álgebra Geometría Matemáticos 3

 

3 comentarios

  1. […] mayor comprensión de la geometría de Lobachevski llega con el Programa de Erlangen de Félix Klein. Su investigación inspiró los trabajos de Riemman y Gauss que luego culminaron […]

  2. […] asociado a la ecuación. Además de la teoría de ecuaciones, los grupos están íntimamente relacionados con la geometría y la teoría de […]

  3. […] he mencionado en otro artículo, fue considerada por matemáticos y científicos de la talla de Albert Einstein o David Hilbert como […]

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