El Sueño de Andrew

Publicado por Miguel Rubio

«Tenía diez años y me encontraba buscando en la biblioteca local, cuando encontré un libro de matemáticas que hablaba un poco de este problema que alguien había resuelto hace trescientos años pero que nadie había nunca visto la demostración, nadie sabía si había una demostración, y alguna gente desde entonces había buscado la demostración. He aquí un problema que yo, un niño de diez años, podía entender pero que ninguno de los grandes matemáticos del pasado había sido capaz de resolver. Desde ese momento intenté resolverlo por mí mismo, era tal reto un problema tan bello.»

Andrew Willes

Vamos a conocer la historia desde el principio.

Aproximadamente en el año 300 a. C., el matemático griego Euclides escribió en Alejandría un tratado matemático que recopilaba y sistematizaba los conocimientos matemáticos más importantes del mundo antiguo, conocido como los elementos de Euclides.

Era un tratado en trece tomos, considerado uno de los libros de texto más divulgado de la historia y el segundo en número de ediciones publicadas después de la biblia. La primera versión que se imprimió de los Elementos fue la de Campano de Novaria en 1482.

Sin embargo, se hicieron copias durante el imperio bizantino y fue traducido y comentado en el mundo árabe durante el siglo IX. La primera versión en castellano fue la de Rodrigo Zamorano en 1576, quien tradujo los seis primeros libros.

La obra de Euclides fue la brújula que guió durante más de 2.000 años a los científicos en su búsqueda por conocer el universo que nos rodea. También sentó las bases de la axiomática moderna, y su geometría aún hoy se sigue enseñando en las escuelas de todo el mundo.

En la proposición 47 del libro I demuestra una propiedad más fuerte que el teorema de Pitágoras: dado un triángulo ABC con ángulo recto en A, si construimos sobre cada lado un cuadrado, entonces la perpendicular a la hipotenusa BC bajada desde A divide al cuadrado sobre la hipotenusa en dos rectángulos de igual área que los correspondientes cuadrados construidos sobre los catetos. Luego en la proposición 48 del mismo libro I demuestra el recíproco del teorema de Pitágoras: si a, b, y c son los lados de un triángulo y a² =b²+c², entonces el ángulo opuesto al lado a es recto.

Luego, en la proposición 31 del libro VI, Euclides demuestra que si construimos sobre los lados de un triángulo rectángulo figuras rectilíneas semejantes, proporcionales a dichos lados, entonces el área de la figura sobre la hipotenusa es la suma de las áreas de las figuras sobre los catetos. Como caso especial, si las figuras son cuadrados tenemos el teorema de Pitágoras.

Se sabe muy poco sobre la vida de Diofanto, salvo la edad a la que falleció que se conoce a través de su epitafio, conservado en la antología griega:

«Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto:

los números pueden mostrar ¡Oh maravilla!

La duración de su vida.

Su niñez ocupó la sexta parte de su vida;

después, durante la doceava parte,

de vello se cubrieros sus mejillas.

Pasó aún una séptima parte de su vida

antes de tomar esposa, y,

cinco años después tuvo un precioso niño

que una vez alcanzada la mitad de la edad

de la vida de su padre,

pereció de una muerte desgraciada.

Su padre tuvo que sobrevivirle,

llorándole durante cuatro años.

De todo esto se deduce su edad.»

Una simple ecuación escrita en base al epitafio demuestra que murió a la edad de 84 años (desafío al lector a comprobarlo). Sin embargo, no se sabe con certeza en que siglo vivió.

En 1621, Claude Gaspar Bachet de Méziriac, matemático y poeta francés, publica una edición bilingue comentada (en latín y griego) de la Arithmetica de Diofanto.

En el libro II de esta obra, en la página 85, se enuncia el problema número 8, que trata sobre cómo escribir un número cuadrado como suma de dos cuadrados. El problema está evidentemente relacionado con el teorema de Pitágoras, que Diofanto conoce a través de la obra de Euclides.

Tres números a, b y c se dice que forman una terna pitagórica si a²=b²+c². El problema 8 trataba entonces sobre las ternas pitagóricas.

De la misma forma que se dice de Gauss que es el príncipe de los matemáticos, se dice de Fermat que es el príncipe de los aficionados a la matemática.

Sus investigaciones en óptica le llevaron a deducir las leyes de la reflexión y la refracción de la óptica geométrica.

Pero donde más destacó Fermat fue en teoría de los números. Enunció numerosos teoremas sobre números enteros, aunque no acostumbraba a escribir su demostración. Demostró que no hay triángulos rectángulos de lados enteros cuya área sea un número entero. En una carta a Marin Mersenne fechada el 25 de diciembre de enuncia el que hoy se conoce como teorema de navidad de Fermat: un número primo p se puede escribir como suma de dos cuadrados si y sólo si p=2 o p-1 es múltiplo de 4.

En una de sus cartas al matemático francés Bernard Frénicle de Bessy, escribe: p divide a a^p-1-1 cuando p es primo y a sea coprimo con p (los números coprimos o primos relativos son aquellos que no tienen ningún factor primo en común). Actualmente este enunciado se conoce como pequeño teorema de Fermat.

Fermat tenía la costumbre de hacer anotaciones en los márgenes de los libros. Fué así que en el margen del problema número 8 de Diofanto que ya mencionamos, escribió:

«Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados y en general una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla.»

Murió en 1665 en Castres, Francia, en el actual departamento de Tarn.

Su hijo Samuel publicó en 1670 una edición del libro de Diofanto con los comentarios de su padre, incluido el que menciona en el problema número 8, que se conoce como último teorema de Fermat. Esta denominación surge con el tiempo, cuando los matemáticos ya habían demostrado todas las demás afirmaciones de Fermat y sólo quedaba ésta.

El propio Fermat avanzó en la demostración del teorema demostrando el caso n=4. En 1735, Leonhard Euler demostró el caso n=3, aunque en 1770 se encontró una falacia en su demostración. De todas formas se le adjudica el mérito de la demostración, que posteriormente fue corregida.

Como todo número mayor que 3 es múltiplo de 4 o de un primo impar (desafío al lector a comprobarlo) entonces sólo quedaba demostrarlo para exponentes primos impares. Además, si n es impar, entonces (-x)ⁿ=-xⁿ, con lo cual lo que había que demostrar es que si p es un primo impar y a, b y c son números enteros tales que a^p+b^p+c^p=0, entonces necesariamente debe ser abc=0.

Bajo el seudónimo de Antoine Auguste LeBlanc (para hacerse pasar por un hombre) envió varios artículos al ya famoso matemático italiano Joseph-Louis Lagrange, a quien ella admiraba. Pero Lagrange, impresionado por su talento matemático, le pidió una entrevista, y Sophie tuvo que revelarle su identidad. Algo similar le sucedió con Karl Gauss, quien la elogió en una carta que he transcrito aquí.

Un número primo p es un primo de Germain si 2p+1 también es un número primo. Por ejemplo, p=11, ya que 2×11+1=23 también es primo. Se conjetura que existen infinitos primos de Germain, pero aún no se ha demostrado. En la actualidad ya se conocen muchos de ellos que tienen más de 200.000 cifras decimales.

El caso es que Sophie demostró que si p y 2p+1 son primos, a^p+b^p=c^p y a, b y c no son múltiplos de p, entonces necesariamente abc=0.

A partir de aquí se consideran dos casos del teorema de Fermat en la forma a^p+b^p+c^p=o para p un primo impar: El caso I en el cual p no divide a los números a, b y c, y el caso II donde uno de los números es divisible por p.

Prosiguiendo con los razonamientos de Sophie Germain, el matemático francés Adrien-Marie Legendre consiguió demostrar el primer caso del teorema de Fermat para los números primos p tales que alguno de los siguientes números es primo:

4p+1, 8p+1, 10p+1, o 16p+1

De todas formas, a partir del 197 quedaban infinitos primos por demostrar el caso I.

En el caso II no se había conseguido avanzar nada.

Entre los papeles encontrados después de la muerte de Gauss, se encontraron demostraciones del último teorema de Fermat para exponentes 3 y 5, utilizando una metodología nueva creada por Gauss, basada en los números complejos, concretamente en las raíces cúbicas de la unidad (no vamos a desarrollar aquí esta metodología).

Durante casi todo el siglo XX las ideas de Kummer se exprimieron al máximo, pero el panorama era paradójico (si no desolador).

En 1993 se había demostrado el teorema de Fermat para todos los exponentes hasta 4 millones, por lo que todos creían que el teorema era cierto, pero no se conocía ningún resultado que lo demostrara para una familia infinita de exponentes. Muchos especialistas pensaban que estaba fuera del alcance de la matemática del siglo XX y que seguiría así muchos años.

Cuando ese niño que se había maravillado al conocer la historia que rodea al teorema en una biblioteca, se graduó en la Universidad de Oxford en 1974, su supervisor, de acuerdo con lo que sucedía en esos casos, le aconsejó que no perdiera el tiempo trabajando en el teorema de Fermat.

Así que Wiles se dedicó al estudio de las curvas elípticas, un objeto perteneciente al campo de la geometría aritmética y en el cual adquirió gran reputación.

Pero ese fuego que se encendió en el cuando tenía 10 años, todavía seguía ardiendo en su interior.

Entre 1955 y 1968 se fue gestando una conjetura (llamada la conjetura modular) que enlazaba dos conceptos muy lejanos entre sí: las formas modulares, que son funciones analíticas, y las curvas elípticas, un campo que Wiles conocía muy bien.

Esta conjetura estaba relacionada con gran cantidad de problemas aritméticos, incluyendo el último teorema de Fermat. En concreto, si la conjetura modular es cierta, el teorema de Fermat también lo es (los detalles necesarios para desarrollar esta última afirmación son muy complejos para exponerlos aquí).

Al conocer estos hechos Wiles abandona las investigaciones en las que estaba trabajando para intentar demostrar el teorema de Fermat por esta vía, pero decidió mantenerlo en secreto para evitar que lo vieran como un excéntrico que estaba perdiendo el tiempo.

Esto produjo un movimiento mediático sin precedentes en la historia de la Matemática: las portadas de los periódicos de mayor tirada en todo el mundo anunciaban que después de casi 400 años se había demostrado un teorema que había resistido a los matemáticos más brillantes de la historia.

El manuscrito de la demostración fue distribuido entre los especialistas, que mencionaron algunos pequeños errores que se resolvieron fácilmente. Pero el matemático estadounidense Nicholas Michael Katz, especialista en geometría algebraica y teoría de números, encontró un error que resultó ser fundamental.

El 6 de octubre de 1994 Wiles envió las nuevas demostraciones a tres especialistas que le dieron el visto bueno. El último teorema de Fermat había sido demostrado con herramientas desarrolladas 300 años después de su enunciado.

Con las técnicas desarrolladas por Wiles los matemáticos Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor consiguieron demostrar seis años después la conjetura modular en toda su generalidad.

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El sueño de Andrew se había cumplido.