Gemelos, primos y amigos

Publicado por Miguel Rubio

Todos conocemos la secuencia de los números enteros positivos (o números naturales mayores que cero): 1, 2, 3, 4, 5, ……; estos números se pueden siempre sumar, restar y multiplicar, pero no siempre se pueden dividir (cuando decimos esto nos referimos a que no hay un número natural o entero como resultado de la división).

Todos los números enteros se pueden dividir por 1, y da como resultado el mismo número:

7 : 1 = 7

12 : 1 = 12

También todos se pueden dividir por el mismo número y da como resultado 1:

9 : 9 = 1

16 : 16 = 1

Pero algunos se pueden dividir por otros números:

12 : 4 = 3

22 : 2 = 11

Estos números se denominan compuestos, en contraposición a los números que no se pueden dividir más que por uno y por sí mismo, como 5, 11 o 41, que se denominan números primos.

El hecho es que los números compuestos se pueden escribir como un producto de números primos, y esta forma de escribirlos es única, salvo por el orden:

24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

14 = 2 x 7

28 = 2 x 2 x 7 = 22 x 7

Es decir, que los números primos son algo así como los ladrillos con los que se construye el edificio de los números enteros.

Llegados a este punto es lógico preguntarse: cuántos números primos hay?

Entre los 100 primeros números naturales hay 25 primos. Entre los 100 siguientes hay 21 primos. Entre los 100 que siguen hay 16 primos.

Parece que a medida que avanzamos en la secuencia de los números naturales, los números primos son más difíciles de encontrar. Esto nos lleva a pensar que posiblemente en algún momento se terminarán, es decir, que hay una cantidad finita de primos.

Sin embargo, hace aproximadamente unos 2300 años, el matemático griego Euclides demostró que hay infinitos números primos; la secuencia de los primos nunca se termina. Lo demostró de una forma muy sencilla pero muy ingeniosa: supuso que había una cantidad finita de números primos y consideró el número que se obtendría multiplicándolos a todos ellos y sumándoles 1.

Es muy sencillo para un matemático comprobar que el número que se obtiene con este procedimiento es necesariamente un número primo nuevo, mayor que todos los de la lista inicial. Por lo tanto, la lista de los números primos nunca termina.

El primer número primo, y el único par, es el 2. Los únicos primos consecutivos son el 2 y el 3. Excepto el 2, todos los primos son impares: 3, 5, 7, 11, 13,…..

Sucede algo curioso: a veces dos números impares consecutivos son primos, como 11 y 13, 17 y 19, 41 y 43 o 137 y 139. A estos pares de primos se los llama primos gemelos.

Podemos contar parejas de primos gemelos tan grandes como 104.549 y 104.551 o incluso muchísimo más grandes. Será también infinita la secuencia de los primos gemelos? La mayoría de los matemáticos creen que sí, pero hasta la fecha nadie ha podido demostrarlo.

El matemático chino Jing-Run Chen demostró en 1973 que hay infinitos números primos p para los cuales el número p+2 es primo o es el producto de dos factores primos.

Una particularidad de estos números es que a excepción del par de gemelos (3 , 5) en todos los demás casos el número par que está entre los dos primos gemelos es un múltiplo de 6.

en 1994 el profesor Thomas Nicely calculó cuáles eran los primos gemelos menores que 1014 (un 1 seguido de 14 ceros). Fue en el trascurso del cálculo que descubrió un error en la unidad de coma flotante del microprocesador Intel Pentium.

Nicely observó que algunas operaciones de división devolvían siempre un valor erróneo por exceso.

Otras personas confirmaron rápidamente estos errores en las divisiones. La empresa Intel se vio obligada a sustituir todos los microprocesadores defectuosos, lo que le significó un costo enorme.

También se consideran importantes los números semiprimos, que son el producto de dos números primos no necesariamente distintos, como:

14 = 2 x 7

93 = 3 x 31

1681 = 41 x 41.

Los números semiprimos adquieren importancia en el área de la seguridad informática, ya que el sistema de clave pública RSA los utiliza para generar sus claves pública y privada. Este algoritmo desarrollado en 1979 es válido tanto para cifrar como para firmar digitalmente. Cada usuario posee dos claves de cifrado: una pública y otra privada. Cuando se quiere enviar un mensaje, el emisor busca la clave pública del receptor, cifra su mensaje con esa clave, y una vez que el mensaje cifrado llega al receptor, este se ocupa de descifrarlo usando su clave privada.

Para obtener el semiprimo se eligen al azar dos primos distintos suficientemente grandes (actualmente tienen aproximadamente unas 200 cifras decimales cada uno) y se los multiplica. La tarea de encontrar estos números primos a partir de su producto es técnicamente imposible en la actualidad, salvo casos muy particulares que han sido extensamente estudiados, aunque hay quienes piensan que con la computación cuántica será posible en un futuro.

La denominación RSA proviene de los apellidos Rivest, Shamir y Adleman, quienes crearon el algoritmo en 1977.

En realidad no es imposible desde el punto de vista matemático. Dado un número semiprimo, digamos N, uno de sus factores primos, digamos q, es menor que la raíz cuadrada de N, por lo tanto sólo hay que dividir N por todos los primos menores que su raíz cuadrada hasta encontrar q: el resultado de la división es el otro número primo.

En noviembre del 2005, Un equipo en la Agencia Federal Alemana para Seguridad de Tecnología de Información factorizó un semiprimo de 193 cifras decimales. Se utilizaron 80 CPUs Opteron AMD durante varios meses de tiempo de computo para conseguirlo.

Un tipo de números compuestos importantes en varias teorías matemáticas, e incluso en teoría musical y criptografía son los llamados números lisos, especialmente los 5-lisos, también llamados números de Hamming. Son números cuyos únicos factores son 2, 3 o 5; por ejemplo 21600 = 25 x 33 x 52.

También llamaron la atención de los matemáticos los denominados números perfectos, que son iguales a la suma de sus divisores menores que él, llamados divisores propios.

El primer número perfecto es el 6, que es divisible por 1, 2 y 3:

1 + 2 + 3 = 6.

El segundo es el 28:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Luego siguen:

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8.128 = 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1.016+2.032+4.064

El matemático griego Euclides, a quien ya mencionamos, demostró que la fórmula:

2n-1(2n-1)

genera un número perfecto par siempre que 2n-1 sea un número primo.

Luego, en el siglo XVIII el matemático Leonhard Euler (el de los puentes de Köningsberg) demostró que todos los números perfectos pares son generados por la fórmula de Euclides.

Resta saber si existen números perfectos impares, ya que hasta la fecha no se conoce ninguno, ni se ha podido demostrar que no existen.

Bajo una idea similar a la de los números perfectos encontramos a los números amigos. Dos números son amigos si cada uno de ellos es la suma de los divisores propios del otro.

Los pitagóricos observaron esta relación entre 220 y 284:

220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142

284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110

A finales del siglo XIII el matemático árabe Al-Farisi descubrió el par de números amigos 17.296 – 18.416, cuyo descubrimiento se atribuyó erróneamente a Leonhard Euler en el siglo XVIII.

En el siglo XVII el matemático Muhammad Baquir Yasdi encontró el par 9.363.584 – 9.437.056.

Los números perfectos son aquellos que son amigos de si mismos.

Todas estas cuestiones y otras muchas relacionadas constituyen una de las áreas de la matemática de mayor actividad: la teoría de los números.

Tanto es así que hay tres teorías de números: la elemental, la algebraica y la analítica. Las tres estudian las propiedades de los números enteros, pero se diferencian en los métodos que utilizan.

La teoría elemental de números los estudia utilizando únicamente las propiedades de los números enteros. Pero no nos dejemos engañar por su nombre. Los números enteros poseen una enorme riqueza en lo que a sus propiedades se refiere.

La teoría algebraica de números estudia estructuras algebraicas como los dominios de factorización única, DFU abreviadamente) y los cuerpos de números algebraicos, entre otras. Sucede que los números enteros son un DFU.

La teoría analítica de números emplea el análisis matemático, sobre todo el análisis de variable compleja, para estudiar las propiedades de los números enteros.

Por supuesto que las tres teorías se ayudan y complementan entre ellas. Así funciona la Matemática: es un enorme conglomerado de muchas teorías que se entrelazan unas con otras.

9 marzo, 2019 Álgebra Matemáticos Números 2

 

2 comentarios

  1. […] Solo es posible aquí ver resumidamente algunos de los aportes más importantes de Euler. Comencemos por la teoría de números, concretamente por los números perfectos. […]

  2. […] su correspondencia con Euler tratan temas de la teoría de números: números perfectos, números de Fermat, primos de Mersenne, polinomios que representan numerosos primos, el último […]

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