La conjetura de Goldbach

Publicado por Miguel Rubio

No creo que sea totalmente inútil plantear aquellas proposiciones que son muy probables aunque falte una verdadera demostración, pues aun cuando se descubra que son incorrectas, pueden conducir al descubrimiento de una nueva verdad………..Christian Goldbach

Como hemos mencionado en otras ocasiones, los problemas matemáticos más sencillos de enunciar y de entender suelen ser los más difíciles de resolver (por ejemplo el último teorema de Fermat y el problema de la coloración de mapas).

También es verdad que en estos casos los intentos por resolverlos van generando, con el correr de los años, gran cantidad de resultados nuevos, que aportan a la matemática el dinamismo y la creatividad que la caracterizan.

El matemático prusiano Christian Goldbach nació en Königsberg, Prusia (la misma del famoso problema de los puentes),hoy Kaliningrado, Rusia. En sus viajes por Europa conoció a matemáticos como  Gottfried Leibniz, Leonhard Euler y Daniel Bernoulli.

Entre Leibniz y Goldbach intercambiaron 11 cartas, las últimas dedicadas movimiento de los planetas y a la teoría matemática de la música.

En su correspondencia con Euler tratan temas de la teoría de números: números perfectos, números de Fermat, primos de Mersenne, polinomios que representan numerosos primos, el último teorema de Fermat, la representación de cualquier impar en la forma  2n2 + p  donde  p es primo y la representación de los números naturales como suma de cuatro cuadrados.

En 1742 Goldbach escribe una carta a Euler (que puede verse aquí) donde enuncia su conjetura:

«Cada entero que se puede escribir como la suma de 2 primos, también se puede escribir como la suma de tantos primos como se desee, hasta que todos los términos sean unidades.»

En el margen de su carta propuso otra conjetura: «cada entero mayor que 2 puede escribirse como la suma de 3 primos.» Entonces se consideraba que el 1 era un número primo. Actualmente, el enunciado de esta conjetura es:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Que se conoce como conjetura fuerte de Goldbach, o simplemente conjetura de Goldbach.

Existe otra conjetura conocida como conjetura débil de Goldbach: «Todo número impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres números primos.» Esta es una consecuencia inmediata de la conjetura fuerte, ya que dado un impar mayor que 5, al restarle 3 se obtiene un par mayor que 2.

La conjetura débil fue demostrada por el matemático peruano Harald Andrés Helfgott en 2013 (consiguió demostrar que para todo número impar mayor que 1030 la conjetura es cierta y luego la verificó mediante un ordenador para cada número impar menor que 1030 ). Hasta donde yo se,​ su trabajo aún está siendo revisado.

El matemático ruso Iván Matvéievich Vinográdov demostró que todo número par lo bastante grande puede escribirse como suma de a lo más 4 números primos.

El matemático chino Chen Jing-run demostró en 1966 que todo número par lo bastante grande puede escribirse como suma de dos números primos o bien de un primo y un semiprimo (teorema de Chen).

Hoy en día la conjetura de Goldbach ha sido comprobada por ordenadores para todos los números pares menores que la unidad seguida de 18 ceros, pero no ha podido ser demostrada ni refutada a pesar del esfuerzo de varias generaciones de matemáticos, entre los que se cuentan algunas de las mentes más brillantes de la historia.

Un número práctico es un entero positivo N tal que todos los enteros positivos menores que el se pueden representar como sumas de divisores distintos de N , por ejemplo el 6 cuyos divisores son 1, 2, 3 y 6, ya que 4 = 2 + 2 y 5 = 2 + 3.

Como toda potencia de 2 es un número práctico (el lector interesado puede comprobarlo), la secuencia de los números prácticos es infinita. Dicha secuencia puede verse aquí.

Muchas propiedades de los números prácticos son similares a propiedades de los números primos.

El matemático ítalo-suizo Giuseppe Melfi demostró en 1984 que cada número par es una suma de dos números prácticos, un resultado análogo a la conjetura de Goldbach

Demostró también que existen infinitos triples de números prácticos de la forma {m-2, m, m + 2}, un resultado que recuerda la conjetura de los primos gemelos.

También demostró que hay infinitos números prácticos de Fibonacci,  un problema que para los números primos todavía está abierto.

En 1992 el matemático y realizador cinematográfico griego Apostolos Doxiadis escribió su novela El tío Petros y la conjetura de Goldbach, que actualizó y tradujo al inglés en 1998.

La novela gira en torno a la relación entre un joven y su tío, un matemático que trata de demostrar la conjetura de Goldbach.

Como estrategia publicitaria, los editores de la novela ofrecieron un premio de 1 millón de dólares a quien consiguiera demostrar la Conjetura durante los dos primeros años de su publicación.

En 2007 se realiza la película española «La habitación de Fermat», protagonizada por Alejo Sauras, Santi Millán, Lluís Homar, Elena Ballesteros y Federico Luppi. Las tres canciones que suenan en la película son obra del grupo granadino Los Planetas.

En la película, dirigida por Luis Piedrahita y Rodrigo Sopeña, se plantean una serie de acertijos matemáticos que los protagonistas deberán resolver.

18 marzo, 2019 Álgebra Números Teoremas 2

 

2 comentarios

  1. […] e importantes problemas sin resolver de las matemáticas. Es parte del problema 8, junto con la conjetura de Goldbach, en la famosa lista de 23 problemas de […]

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