La divina proporción

Publicado por Miguel Rubio

«A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.»…….Rafael Alberti

Hace aproximadamente 2.300 años el matemático griego Euclides escribió su obra maestra, conocida como «los Elementos«, un tratado en 13 libros cuyo contenido se sigue enseñando básicamente en las escuelas de todo el mundo.

Allí, en el libro 6, en su definición 3, expresa: «Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.»

Es decir, define lo que hoy se conoce como razón extrema y media, razón áurea, número de oro, divina proporción, proporción áurea, etc.

Su valor numérico aproximado es:

1,618033988749894848204586834365638117720309…….

Euclides demostró que es un número irracional, es decir que no puede ser escrito en forma de fracción ordinaria, sino que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten en forma periódica.

Otra característica curiosa del número φ es que su inverso y su cuadrado tienen las mismas cifras decimales:

1/Φ = 0,618033988749894848204586834365638117720309…….

Φ² = 2,618033988749894848204586834365638117720309…….

Es decir, que Φ = 1 + 1/Φ y que Φ² = Φ + 1.

Si cuando a un rectángulo le quitamos un cuadrado, el rectángulo que nos queda es semejante al original, entonces en ambos rectángulos la relación entre los lados es la proporción áurea.

Si dividimos una circunferencia en dos partes de modo que la proporción entre las medidas de los arcos resultantes sea el número φ, entonces el arco más pequeño subtiende un ángulo de aproximadamente 137,5º.

Íntimamente relacionada con el número de oro está la sucesión de Fibonacci: una sucesión de números enteros donde cada uno de ellos se obtiene sumando los dos anteriores:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597, 2.584, 4.181, 6.765, 10.946, 17.711, 28.657… 

Al dividir cada cifra por la anterior se obtiene un resultado cada vez más cercano al número de oro, lo cual se expresa matemáticamente diciendo que φ es el límite de F(n+1)/F(n) cuando n tiende a infinito, donde F(n) representa un término genérico de la sucesión:

Las sucesiones donde cada término es la suma de los dos anteriores, pero los dos primeros no son 1 y 1 se denominan sucesiones generalizadas de Fibonacci. Un ejemplo importante es la sucesión de Lucas:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,…..

Ya habíamos mencionado que Φ² = Φ + 1, y basándonos en este resultado un cálculo algebraico sencillo (desafío al lector a realizarlo) nos muestra que las sucesivas potencias de φ son:

1, φ, 1+φ, 1+2φ, 2+3φ, 3+5φ, 5+8φ, 8+13φ,….,F(n)+F(n+1)φ,….

Es decir que los coeficientes que aparecen en la expresión general de las potencias de φ son los términos de la sucesión de Fibonacci. Más aún: las potencias sucesivas de φ forman una sucesión generalizada de Fibonacci, ya que cada una es la suma de las dos anteriores.

Es notable que las sumas de las diagonales desde arriba a la derecha hacia abajo a la izquierda arrojen como resultado los términos de la sucesión de Fibonacci (en rojo en la figura):

La sucesión de Fibonacci aparece en la naturaleza en los sitios más inesperados. Así, en botánica, por ejemplo, se define un número denominado índice folial: si desde la base de un tallo subimos hasta los últimos brotes uniendo las hojas con un hilo notaremos que el hilo sube en forma de espiral.

Si dividimos el número de vueltas que da el hilo entre el número de hojas que encuentra en su camino, el resultado es el índice folial.

Así, por ejemplo, el índice folial del ciruelo y del manzano es 3/8 y el del peral 5/13. En general, los índices foliales se pueden escribir como F(n)/F(n+2), donde F(n) es un término genérico de la sucesión de Fibonacci.

El 20% restante responden a una distribución basada en otras sucesiones, como la de Lucas.

El índice folial se puede reinterpretar como la fracción de vuelta (el ángulo) entre dos brotes consecutivos, y este valor tiende a 137,5º (que ya habíamos mencionado que está íntimamente relacionado con φ).

Cuando la relación entre los lados de un rectángulo es el número de oro, decimos que es un rectángulo áureo.

Esta construcción nos permite trazar una espiral conocida como espiral de Fibonacci:

Las espirales aparecen por ejemplo en la configuración de la concha de ciertos moluscos como el nautilus. Incluso muchas galaxias adoptan la forma de espiral.

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Entre los archivos de Televisión Española aparece el siguiente video que nos llevará a recorrer el fascinante mundo de las espirales:

El número de oro es el primero de una familia numérica generada por las ecuaciones cuadráticas del tipo X² – p X – q = 0 donde p y q son números naturales. Los números así generados se denominan números metálicos, y reciben el nombre de diversos metales. El número de oro es el más conocido y estudiado de todos ellos.

Martha de Spinadel fue, entre otras cosas, Profesora a tiempo completo y Directora del Laboratorio de Matemática y Diseño en la Universidad de Buenos Aires y Presidenta de la Asociación internacional de Matemática y Diseño. Escribió numerosos libros y artículos sobre fractales, teoría del caos, diseño y números metálicos, entre otros temas.

Para distintos valores de p y q en la ecuación X² – p X – q = 0 se obtienen distintos números metálicos, siendo los primeros:

• p = q = 1 : número de oro
• p = 2, q = 1 : número de plata = 2,414213562..
• p = 1, q = 2 : número de cobre = 2
• p = 3, q = 1 : número de bronce = 3,302775638…
• p = 1, q = 3 : número de níquel = 2,302775638…
• p = q = 2 : número de platino = 2,732050808…

Como se puede observar algunos son números enteros, como es el caso del cobre.

Ya habíamos mencionado que si al quitar un cuadrado de un rectángulo, el rectángulo que queda es semejante al original, entonces la razón entre los lados de los rectángulos es el número de oro.

Si sucede lo mismo al quitar dos cuadrados, entonces la razón entre los lados del rectángulo es el número de plata. En el caso de quitar tres cuadrados y que el rectángulo que queda sea semejante al original, la razón entre los lados del rectángulo es el número de bronce:

Análogamente a lo que sucede con la sucesión de Fibonacci y el número de oro, el límite del cociente entre dos términos sucesivos de la sucesión definida por la ley de recurrencia:

F( n + 1 ) = p F( n – 1) + q F( n )

es el número metálico generado por la ecuación X² – p X – q = 0.