La Huella Digital de Dios

(El Todo es Igual a las Partes)

Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. Esto se expresa matemáticamente diciendo que un fractal es un objeto autosimilar.

Que sean autosimilares quiere decir que su forma está hecha a partir de copias más pequeñas de la misma figura y así hasta el infinito, como es el caso del romanescu:

variedad verde de coliflor italiana, de la familia de las brasicáceas

Un fractal clásico es el copo de nieve de Koch descrita en 1904 por el matemático sueco Helge von Koch:

El conjunto de Mandelbrot es el más estudiado de los fractales. Se conoce así en honor al matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010), que investigó sobre él en los años setenta.

A partir de un número complejo c, se construye una sucesión por recursión:

{\displaystyle {\begin{cases}z_{0}=0\in \mathbb {C} &{\text{(término inicial)}}\qquad \\z_{n+1}=z_{n}^{2}+c&{\text{(sucesión recursiva)}}\end{cases}}}

Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo.

Con la aparición de los primeros ordenadores se pudo visualizar este fractal con toda su complejidad:

Mandelbrot se dedicó toda la vida a buscar una base matemática simple para las formas irregulares del mundo real. Así que se preguntó si había algo único que definiera todas las formas variadas de la naturaleza.

Otro Ejemplo de figura fractal es la curva del dragón de Heighway:

Imágen de la curva del dragón

También cabe mencionar el conjunto de Cantor, que se obtiene a partir del intervalo [0 , 1] de la recta real:

Sucesivos pasos en la construcción del conjunto de Cantor

Y su versión bidimensional, la alfombra de Sierpinski, a quien he mencionado en un artículo anterior, debido a que su número de Erdős es 2.

Las antenas fractales de teléfonos móviles y del WiFi se han producido en forma de pocas iteraciones de la alfombra Sierpinski, ya que se adaptan fácilmente a múltiples frecuencias. También son fáciles de fabricar y más pequeñas que las antenas convencionales de rendimiento similar, por lo que son óptimas para teléfonos móviles de bolsillo.

La matemática fractal, junto con el campo relacionado de la teoría del caos, reveló la belleza oculta del mundo, inspiró a científicos en muchas disciplinas, incluyendo cosmología, medicina, ingeniería y genética, y también a artistas y músicos.

Tal es el ejemplo de las llamas fractales creadas por Roger Johnston.

El uso del color y sus intrincados detalles son las características principales de su gran trabajo artístico:

fractal flames

Termino con un video de la BBC sobre los fractales:

3 septiembre, 2020 Arte y Arquitectura Geometría Temas Diversos Topología 1

 

Un comentario

  1. […] En 1917 presentó el concepto de dimensión fractal, una generalización métrica del concepto de dimensión de un espacio topológico, que permite definir una dimensión no entera para un objeto fractal. […]

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