La matemática y el infinito

Publicado por Miguel Rubio

Aunque no lo parezca, una de las actividades más antiguas de la humanidad es contar: 1, 2, 3, ……. Claro que los primeros hombres que lo hicieron no conocían el concepto abstracto de número. Contaban por comparación. Entre restos arqueológicos de más de 35.000 años se han encontrado huesos con muescas utilizados para contar. Hace 6.000 años, antes que en ningún lugar del mundo existiera algún tipo de escritura, en Oriente Medio se practicaba la contabilidad mediante diversos objetos de arcilla de distintas formas y tamaños, cada uno de los cuales simbolizaba una mercancía en particular.

En esta figura se pueden apreciar algunos de estos objetos, que se encuentran en el museo del Louvre, en París (departamento de antigüedades orientales).

Con el correr de los siglos, pueblos como los babilonios y los egipcios desarrollaron sistemas numéricos y aprendieron a manejar propiedades algebraicas abstractas cono la conmutativa o la asociativa, pero siempre aplicándolas a cantidades concretas.

Fue en Grecia, hace aproximadamente 2.500 años, cuando se comenzó a manipular el concepto abstracto de número. Allí nació la Matemática tal y como la conocemos hoy en día, de la mano de grandes matemáticos como Tales, Pitágoras y Euclides. Allí comenzaron los matemáticos a tratar con la idea del infinito.

Como muestra de esto, uno de los principales resultados que demostró Euclides sobre los números primos es que son infinitos. Pero la idea del infinito que tenía Euclides era que nunca iba a terminar de contarlos, porque siempre habría uno más: es la idea del infinito potencial, que dominó la Matemática hasta el siglo XX. Sobre este concepto del infinito, el matemático griego Zenón de Elea elaboró la más conocida de sus paradojas: la de Aquiles y la tortuga.

Según cuenta Homero, a Aquiles lo llamaban “pie veloz”, por la gran velocidad a la que corría. Zenón se imaginaba una carrera entre Aquiles y una tortuga. Por supuesto que como la tortuga era más lenta, se le daba una ventaja de algunos metros. La finalidad de la carrera era que Aquiles alcanzara a la tortuga.

Zenón razonaba de la siguiente manera: cuando Aquiles llegaba al punto de partida de la tortuga, esta había recorrido una distancia (pequeña, por supuesto). Entonces Aquiles tenía que seguir corriendo para alcanzarla.

Pero nuevamente, cuando Aquiles llegaba al sitio donde estaba la tortuga, esta había avanzado. De acuerdo con este razonamiento, Aquiles nunca alcanzaría a la tortuga.

A mediados del siglo XVII los matemáticos comenzaron a elaborar métodos que permiten resolver este tipo de paradojas. Imaginemos que inicialmente Aquiles da un metro de ventaja a la tortuga, y que cada vez que alcanza su posición, la tortuga avanza la décima parte de lo que recorrió Aquiles. La distancia que los separa en cada etapa de la carrera será (en metros):

1, 1/10, 1/100, 1/1000, …….

Para resolver la paradoja, debemos sumar todos estos términos:

S = 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ……

lo cual parece imposible, ya que son infinitos términos. Pero hagamos el siguiente razonamiento: si multiplicamos todos los términos de esta suma por 10 obtenemos:

10 S = 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ….

y restando ambas expresiones tendremos:

10 S – S = 10

ya que los demás términos se cancelan.

Esta es una ecuación que podemos resolver fácilmente:

10 S – S = 10

9 S = 10

S = 10/9

Esta es entonces la distancia en la que Aquiles alcanzará a la tortuga.
Hemos burlado al infinito. En lugar de sumar la expresión:

S = 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + …..

hemos utilizado un artilugio matemático para hallar el valor de S. Una suma con infinitos términos como esta no es en realidad una suma: los matemáticos denominan a este tipo de expresiones una serie.
Pero el infinito es muy esquivo. Cuando parece que podemos manipular una serie para obtener su suma, aparecen ejemplos como el siguiente:

S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ……..

Podemos agrupar los términos de esta serie para sumarlos:

S = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ……

S = 0 + 0 + 0 + 0 + …..

S = 0

Sin embargo si los agrupamos dejando libre el primer término:

S = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ……

S = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + …..

S = 1

Los resultados no coinciden. Evidentemente, esta serie no se puede sumar. Las series que se pueden sumar se denominan convergentes, como la de Aquiles y la tortuga. Aquellas que no se pueden sumar se denominan divergentes, como la del ejemplo que acabamos de ver.

A finales del siglo XIX, el matemático David Hilbert dio a conocer una situación imaginaria que ayuda a entender la estructura interna del infinito potencial. Esta situación imaginaria se conoce como “el hotel de Hilbert”.

Hilbert tiene un hotel con infinitas habitaciones, enumeradas con la secuencia de los números enteros positivos: 1, 2, 3, 4, …..

Un día en el que todas las habitaciones están ocupadas, se presenta un cliente que le solicita alojamiento. Entonces Hilbert le pide a cada huésped que se traslade a la habitación siguiente a la que está ocupando: quien ocupa la habitación 1 se traslada a la 2, quien ocupa la habitación 2 se traslada a la 3, y así sucesivamente. De esta forma la habitación 1 queda libre para el cliente nuevo. (Es decir, que si a un conjunto infinito le agregamos un nuevo elemento, sigue teniendo la misma cantidad de elementos que antes).

Luego llega al hotel un autobús con infinitos asientos, totalmente lleno, y sus infinitos pasajeros quieren alojarse en el hotel. Entonces, Hilbert les pide a los clientes que ya están alojados que se trasladen a la habitación cuyo número es el doble de la que están ocupando. De esta forma, quien está en la habitación 1 se traslada a la 2, quien está en la 2 se traslada a la 4, quien está en la 3 se traslada a la 6, y así sucesivamente, de modo que las habitaciones con numeración impar quedan libres, y en ellas se alojan los nuevos huéspedes (Esto es: infinito + infinito = infinito).

Justamente en esa época, cuando parecía que los matemáticos estaban domando al infinito, aparece en escena un actor formidable: Georg Cantor.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor Nació en Rusia en 1845. En su formación académica tuvo profesores que fueron notables matemáticos, como Ernst Kummer, Karl Weierstrass y Leopold Kronecker.

Entre 1878 y 1884, Cantor publica seis memorias en las que expone a la comunidad matemática su teoría de conjuntos. Una teoría intuitiva y potente que los matemáticos comienzan a utilizar inmediatamente (a pesar de que tuvo sus detractores).

Pero a la hora de contar los elementos de un conjunto, Cantor vuelve a las fuentes. Hace miles de años los hombres contaban comparando: una piedra por cada animal que poseían, es lo que en matemática se denomina una correspondencia biunívoca, una piedra un animal, un animal una piedra.

De la misma manera Cantor establece la cantidad de elementos de un conjunto por comparación: dos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos si se pueden poner en correspondencia biunívoca. La controversia aparece al considerar conjuntos infinitos, ya que Cantor demostró que no todos ellos pueden ponerse en correspondencia biunívoca, es decir, hay más de un infinito. Más aún, hay una infinidad de infinitos distintos. Como señaló el matemático Roger Penrose:

«El verdadero logro de Cantor fue mostrar que hay infinitos más grandes que otros, algo sencillamente asombroso»….«Entonces no se trata sólo de lo finito y lo infinito. Hay infinidades grandes, otras enormes, otras estupendamente enormes…».

Cantor introduce así el concepto de infinito actual: una cantidad infinita de elementos considerados todos ellos simultáneamente.

Para entender la diferencia entre el infinito potencial de los antiguos y el infinito actual de Cantor, vamos a considerar un experimento mental conocido como “la lámpara de Thompson”.(Todos los elementos que se utilizan son ideales, por lo que no existen limitaciones prácticas como las que encontraríamos en un experimento real).

Imaginemos una lamparilla eléctrica conectada a un mecanismo de relojería que puede apagarla o encenderla en un tiempo determinado. Inicialmente la lámpara está encendida, pero al transcurrir un minuto se apaga. Medio minuto después se vuelve a encender para apagarse nuevamente después de un cuarto de minuto. El reloj cambia el estado de la lámpara en un tiempo igual a la mitad del tiempo que falta para que se cumplan los dos minutos desde el comienzo del experimento.

La pregunta es: al transcurrir exactamente dos minutos desde el comienzo, ¿la lámpara estará encendida o apagada?

No hay consenso sobre la respuesta a esta pregunta. La trampa está en que se mezclan los dos conceptos del infinito. Se plantea el proceso paso a paso, transcurriendo los intervalos de tiempo que la lámpara está en cada estado uno detrás del otro, sin terminar nunca. Es el concepto del infinito potencial.

Sin embargo la pregunta final se plantea considerando todos esos intervalos de tiempo simultáneamente, aplicando el concepto del infinito actual.

A pesar de las dificultades que conlleva tratar con el infinito, los matemáticos sí que han conseguido dominarlo. La matemática actual nos permite operar con los números infinitos: sumarlos, multiplicarlos y elevarlos a una potencia, finita o no, e incluso ordenarlos de menor a mayor. Es la llamada aritmética transfinita, que proviene directamente de la teoría de conjuntos.

Pero ese es otro tema.

26 febrero, 2019 Infinito Matemáticos Números 0

 

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