Los problemas de Hilbert

Publicado por Miguel Rubio

«¿ Quién de nosotros no quisiera levantar el velo tras el cual yace escondido el futuro, y asomarse, aunque fuera por un instante, a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior en los siglos futuros? ¿Cuales serían las metas particulares que tratarán de alcanzar los líderes del pensamiento matemático de las generaciones futuras? ¿Qué nuevos métodos y hechos nos depararán los siglos por venir en el ancho y rico campo del pensamiento matemático?».…..David Hilbert (París,1900).

David Hilbert nació en 1862 en Königsberg (la ciudad de los famosos puentes). Fue uno de los matemáticos que más influyó en el desarrollo actual de la matemática, y uno de los más importantes de la historia.

Entre sus aportaciones más importantes podemos mencionar:

  • La noción de espacio euclídeo de infinitas dimensiones, conocido actualmente como espacio de Hilbert es la piedra angular del análisis funcional y juega un papel importante en la teoría cuántica.
  • Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración.
  • Desarrolló la teoría de los invariantes algebraicos.
  • Sustituyó los axiomas de Euclides de la geometría por un conjunto de 20 axiomas (originalmente 21), corrigiendo las deficiencias originales del sistema euclidiano, y sentando las bases de la axiomática moderna.
  • Las ecuaciones de Einstein–Hilbert de la teoría de la relatividad general describen la interacción gravitatoria como resultado de la curvatura del espacio-tiempo.
  • Publicó un tratado en 1897 que unificó el campo de la teoría algebraica de números.
  • Adoptó y defendió vivamente la aritmética transfinita de Cantor. Conocida es su su paradoja del Grand Hotel, que he mencionado aquí.
  • Describió una curva fractal continua que recubre el plano conocida como curva de Hilbert.
  • Dirigió 69 tesis doctorales, algunas a matemáticos cuya labor fue fundamental para la matemática del siglo XX.

Cada cuatro años se celebra el evento matemático más importante del mundo: El Congreso Internacional de Matemáticos, auspiciado por la Unión Matemática Internacional, compuesta por organizaciones matemáticas de más de 70 países. El primer Congreso Internacional de Matemáticos se realizó en Zúrich, Suiza, en 1897; y el último en Río de Janeiro, en Brasil, en el año 2018.

Fue en el congreso de 1900 en París, Francia, donde el matemático David Hilbert anunció su famosa lista de 23 problemas abiertos (inicialmente 24), conocidos como los problemas de Hilbert, que delinearon de alguna manera el desarrollo de las matemáticas durante el siglo XX.

Los problemas 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 y 20 han sido completamente resueltos. Los problemas 1, 2, 5, 6, 9, 15, 18, 21 y 22 han sido resueltos, pero hay gran controversia en torno a estas soluciones, principalmente sobre el problema 18 debido a que ha sido una demostración asistida por ordenador (algo similar a lo que ocurrió con el teorema de los 4 colores). Quedan sin resolver los problemas 8, 12, 16 y 23. El problema 4 tiene un planteamiento tan general que no se puede decidir si está resuelto o no.

Vamos a ver resumidamente cada uno de estos problemas.

Problema 1

El problema de Cantor sobre la cardinalidad del continuo.

La hipótesis del continuo fue formulada en 1878 por el matemático ruso Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, sobre cuyo trabajo se puede encontrar más información aquí.

Las contribuciones de Kurt Gödel y Paul Cohen demostraron que es imposible probar la verdad o falsedad de esta hipótesis a partir del conjunto de axiomas estándar de la teoría de conjuntos. Sin embargo, no hay consenso al respecto de considerar esto como solución al problema

Problema 2

La compatibilidad de los axiomas de la aritmética.

En 1936 el matemático alemán Gerhard Gentzen demostró que la consistencia de la aritmética se deriva del buen fundamento del ordinal €0.

Sin embargo, hay quienes sostienen que el teorema de la incompletitud de Gödel muestra que no hay demostración finitista de que los axiomas de Peano sean consistentes, por lo que este problema se considera parcialmente resuelto.

Problema 3

Dados dos poliedros de igual volumen, ¿es posible cortar el primero en una cantidad finita de piezas poliédricas que puedan ser ensambladas de modo que quede armado el segundo?

El matemático alemán Max Wilhelm Dehn, cuya tesis doctoral fue dirigida por Hilbert, fue el primero en resolver uno de los 23 problemas en 1900. Dehn demostró que la respuesta a esta pregunta es no, utilizando lo que hoy se conoce como invariante de Dehn.

Este problema se ha comparado con la llamada paradoja de Banach-Tarski: Es posible partir una esfera maciza en cinco trozos disjuntos de forma que recomponiéndolos mediante movimientos rígidos obtengamos dos esferas macizas de las mismas dimensiones que la original.

La paradoja de Tarski-Banach

Aunque la demostración es constructiva (es decir que hay un procedimiento para hacerlo), en la práctica es irrealizable, porque uno de los trozos es un punto y el concepto matemático de punto no existe en el universo físico.

Problema 4

Construir todas las métricas cuyas rectas sean geodésicas. Una métrica es una función que permite medir distancias (longitudes). La geodésica se define como la línea de mínima longitud que une dos puntos en una superficie dada, y está contenida en esta superficie.

O sea que la distancia más corta entre dos puntos no es necesariamente una línea recta (salvo en el plano). Por este motivo, los aviones cuando cruzan el océano no lo hacen siguiendo una línea recta, sino una curva (que es la geodésica de la superficie terrestre):

La línea roja representa la trayectoria real de un avión.
Es sobre la superficie de la tierra la menor distancia, aunque sobre un planisferio no lo parezca.

Por otro lado, aún en el plano puede ser más realista una noción de distancia distinta a la habitual.

Imaginemos una ciudad moderna donde las calles son paralelas o perpendiculares. Si tuviéramos que ir desde A hasta B, la distancia que recorreríamos (a pie o en taxi) no sería la que corresponde a la línea recta, sino la que está marcada en rojo.

Por este motivo a esta distancia se la conoce como métrica del peatón, o del taxi (y tiene importantes aplicaciones tanto en la matemática pura como aplicada).

Problema 5

Establecer el concepto de grupo de Lie,sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.

En la década de 1870 el matemático noruego Marius Sophus Lie realiza un estudio de los grupos continuos, conocidos hoy como grupos de Lie.

Lie descubrió que los grupos continuos de transformaciones son la herramienta idónea para describir la simetría de las estructuras analíticas.

El grupo Lie más complicado denominado E8, descubierto por Lie en 1887, tiene 248 dimensiones y describe una estructura de 57 dimensiones. Dicha estructura fue diseñada por un equipo de 18 matemáticos a lo largo de 4 años, finalizando en 2007.

Retículo de subgrupos de E8

la Física de Partículas Elementales y la Teoría General de la Relatividad se pueden estudiar desde el punto de vista de la teoría de los grupos de Lie y sus representaciones.

El matemático estadounidense Andrew Mattei Gleason demostró en 1949 que cada subgrupo compacto conectado de un grupo local compacto está contenido en un subgrupo compacto conectado máximo. este resultado llevó en 1952 a la resolución del 5º problema, por lo que Gleason ganó el Premio Newcomb Cleveland de la Asociación Americana para el Avance de la Ciencia.

Problema 6

Axiomatizar la física matemática:

«Las investigaciones en los fundamentos de la geometría sugieren el siguiente problema: Tratar de la misma manera, por medio de axiomas, aquellas ciencias físicas en las que la matemática juegue un papel importante: en primer lugar la teoría de probabilidades y la mecánica». (David Hilbert).

Von-Neumann, Dirac, Heisenberg y Schrödinger axiomatizaron la mecánica cuántica. Constantin Carathéodory axiomatizó la termodinámica a través de un enfoque puramente geométrico.

Por otro lado, la teoría cuántica de campos tiene varios sistemas axiomáticos:

  • Axiomas de Osterwalder-Schrader
  • Axiomas de Haag-Kastler
  • Axiomas de Wightman

El matemático soviético Andréi Nikoláyevich Kolmogórov enunció En 1933 un sistema de axiomas para la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos y en la teoría de la medida.

Por todo esto, el problema 6 se considera parcialmente resuelto.

Problema 7

La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como e, π, Φ, y en general números de la forma a b con a algebraico ≠ 0,1 y b irracional algebraico.

Por ejemplo, Φ, cuyo valor numérico aproximado es:

1,618033988749894848204586834365638117720309…….

Euclides demostró que es un número irracional, es decir que no puede ser escrito en forma de fracción ordinaria, sino que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten en forma periódica.

Este problema está resuelto con los teoremas de Gelfond-Schneider y de Lindemann–Weierstrass.

Problema 8

La distribución de los números primos. Concretamente, La hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. “Si despertara después de dormir durante mil años, mi primera pregunta sería: ¿se ha demostrado ya la Hipótesis de Riemann?”(David Hilbert).

El matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann formuló en 1859 una conjetura que es actualmente uno de los problemas abiertos más importantes de la matemática, conocida como hipótesis de Riemann.

La hipótesis de Riemann se refiere a la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann ζ(s), que es una función meromorfa en todo el plano complejo con un único polo en s = 1. Fue Leonhard Euler quien observó por primera vez su relación con los números primos.

La función zeta se anula en los números pares negativos, que son los llamados ceros triviales. La hipótesis de Riemann asegura que cualquier cero no trivial tiene que cumplir Re(s)=1/2.

Problema 9

Generalizar el teorema de reciprocidad cuadrática (o teorema áureo) a cualquier cuerpo numérico.

En 1742 Euler lo enuncia como una conjetura en una carta a Goldbach, y en 1801 fue demostrado por Gauss. El teorema se refiere a las congruencias:

{\displaystyle x^{2}\equiv p{\pmod {q}}}
{\displaystyle y^{2}\equiv q{\pmod {p}}}

Que relacionan dos números primos impares p y q. El enunciado es:

«Si ninguno de los primos p o q pertenece a la sucesión 4k+1 entonces una de las congruencias tiene solución si y sólo si la otra no tiene solución. Si alguno de los primos pertenece a la sucesión 4k+1 entonces o bien ambas congruencias tienen solución o bien ninguna de las dos tiene solución.»

Resumidamente, un cuerpo es una estructura algebraica donde se puede sumar, restar, multiplicar y dividir. Por ejemplo, los números reales o las fracciones de polinomios. El primer ejemplo es un cuerpo numérico, porque sus elementos son números, en cambio el segundo no es numérico.

Este problema se considera parcialmente resuelto (el desarrollo de la teoría de cuerpos de clases permitió resolverlo en el caso abeliano).

Problema 10

Dada una ecuación diofántica con cualquier número de incógnitas y con coeficientes numéricos enteros, idear un proceso de acuerdo con el cual pueda determinarse, en un número finito de operaciones, si la ecuación es resoluble en números enteros.

En 1970 El matemático ruso Yuri Matiyasévich demostró que un algoritmo con estas características es imposible, con lo cual el problema quedo resuelto.

La solución al problema fue aportada también por Julia Robinson, Martin Davis y Hilary Whitehall Putnam.

La imposibilidad de tal algoritmo se deduce de la existencia de un conjunto recursivamente enumerable que no es computable y del hecho de que todo conjunto recursivamente enumerable es diofántico. Este resultado se conoce como teorema de Matiyasévich.

El siguiente vídeo nos muestra cómo el teorema de Matiyasévich se puede utilizar para probar resultados de la lógica:

Problema 11

Resolver las formas cuadráticas con coeficientes algebraicos.

Básicamente una forma cuadrática es un polinomio de 2º grado con varias variables. Su definición formal es:

Una forma cuadrática q, es toda aplicación de Rn en R tal que a cada vector (x1,…,xn) de Rn le hace corresponder el valor numérico dado por un polinomio cuadrático en las variables x1,…,xn:

Forma cuadrática de dos variables.

El problema fue resuelto por Helmut Hasse (el creador de los diagramas de Hasse) sobre los números racionales y por Carl Ludwig Siegel(matemático alemán especializado en teoría de números) sobre los números enteros. Por esto se considera parcialmente resuelto.

Un diagrama de Hasse es un grafo al que se le ha quitado todas las aristas que pueden deducirse con las propiedades reflexiva y transitiva y todos sus bucles.

Problema 12

La extensión del teorema de Kronecker-Weber sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.

El matemático polaco Leopold Kronecker fue quien dijo la famosa frase «Dios creó el número natural, lo demás es obra del hombre«. Kronecker publicó mucho en álgebra, teoría de números y funciones elípticas pero fundamentalmente exploró la conexión entre ellas.

El matemático alemán Heinrich Martin Weber hizo numerosos trabajos de investigación en teoría de números, álgebra y análisis y editó las obras completas de Riemann.

El Teorema de Kronecker-Weber establece que cada extensión abeliana finita del cuerpo de los números racionales es un subcuerpo de un cuerpo obtenido al añadir una raíz compleja de la unidad a los números racionales.

Una solución para cuerpos cuadráticos imaginarios puede verse aquí. Aún así, este problema está sin resolver.

Problema 13

Resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones algebraicas de sólo dos argumentos. En una versión posterior de este problema Hilbert preguntó si existe una solución con funciones continuas .

En 1957 los matemáticos Vladímir Ígorevich Arnold y Andréi Nikoláyevich Kolmogórov respondieron afirmativamente a esta pregunta más general, por lo que el problema se considera resuelto.

En 1956 Kolmogórov demostró que cualquier función de varias variables se puede construir con un número finito de funciones de tres variables. Luego Arnold amplió este resultado probando que sólo se necesitan funciones de dos variables.

Problema 14

Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.

El Problema pregunta para un cuerpo k si, dado un cuerpo F tal que kF k(X1, . . . , Xn), la k-álgebra F k[X1, . . . , Xn] es necesariamente finitamente generada.

El problema se resuelve negativamente con el contraejemplo de Masayoshi Nagata en 1959.

La habilidad de Nagata en la producción de contraejemplos llevó a sus colegas matemáticos a darle el apodo de «El señor contraejemplo»

Nagata se desempeñó como miembro del Comité Ejecutivo de la Unión Matemática Internacional entre 1975 y 1978 y como vicepresidente de 1979 a 1982.

Problema 15

Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.

Qué es la Geometría Algebraica?. En el próximo vídeo nos lo explica Laura Hidalgo Solís:

Fue parcialmente resuelto por el matemático holandés Bartel Leendert van der Waerden.

Van der Waerden trabajó en geometría algebraica, álgebra abstracta, topología y teoría de números , así como también en estadística, probabilidades, análisis matemático y mecánica cuántica , además de historia de las matemáticas y de la física.

Hizo aportes importantes en teoría de grupos y generalizó algunos de los resultados de Emmy Noether en teoría de anillos.

Problema 16

Problema de la topología de curvas y superficies algebraicas. En palabras del propio Hilbert:

«El número máximo de ramas cerradas y separadas que puede tener una curva algebraica de grado n fue determinado por Harnack. Aparece la siguiente cuestión: ¿cuál es la posición relativa de estas ramas en el plano? Para las curvas de grado 6 yo mismo he visto —después de un complicado proceso— que pueden aparecer 11 ramas de acuerdo con Harnack, pero en modo alguno todas las ramas pueden ser externas respecto a otra rama, sino que debe existir una rama en cuyo interior haya otra rama y en cuyo exterior haya nueve ramas, o a la inversa. Una investigación de las posiciones relativas de las ramas separadas cuando su número sea máximo me parece de gran interés, y no menos la investigación del número, forma, y posición de las hojas de una superficie algebraica en el espacio. Hasta ahora no se conoce el número máximo de hojas que una superficie de grado 4 en un espacio de dimensión tres pueda tener. Conectado con este problema puramente algebraico, deseo formular la siguiente cuestión que, me parece, debe ser atacada por el mismo método de variación continua de los coeficientes y cuya respuesta es valiosa para conocer la topología de las familias de curvas definidas por las ecuaciones diferenciales. Esta cuestión es la del número máximo y posición de los ciclos frontera de Poincaré (ciclos límite) para una ecuación diferencial de primer orden y grado de la forma:

donde X y Y son funciones racionales de grado n en x e y. Escritas
homogéneamente,

donde X, Y y Z son funciones racionales homogéneas de grado n en
x, y, z, y estas últimas tienen que ser determinadas como funciones del parámetro t.»

El problema aún está por resolver, pero los matemáticos españoles Jaume Llibre y Pablo Pedregal han planteado una solución elaborada durante 5 años y que ahora está siendo examinada por una comisión de arbitraje.

Problema 17

La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.

La pregunta de cual es el menor número v tal que cualquier polinomio no negativo de n variables pueda ser escrito como la suma de cuanto mas v funciones racionales cuadradas es un problema que permanece abierto.

Sin embargo, el matemático alemán Albrecht Pfister en 1970, en el Congreso Internacional de Matemáticos en Niza estableció que 2n es una cota superior.

Dubois mostró en 1967 que la respuesta es negativa en general para campos ordenados .

El problema se considera resuelto.

Problema 18

  1. Cuantos grupos de simetría existen en el espacio euclidiano de tres dimensiones ?
  2. Existe un poliedro que cubra el espacio euclidiano tridimensional ?
  3. Cual es el empaquetado de esferas más denso (o el empaquetado de otras formas especificadas).

La respuesta a la primera pregunta es que existen  230 grupos de simetría en tres dimensiones.

En 1928 el matemático alemán Karl August Reinhardt encontró el primer mosaico de este tipo en el espacio tridimensional dando una respuesta afirmativa a la segunda pregunta.

A pesar de que la tercera pregunta incluye explícitamente otras formas especificadas, esta pregunta se suele tomar como equivalente a la llamada conjetura de Kepler.

La conjetura de Kepler Afirma que ninguna disposición espacial de esferas de igual tamaño tiene una densidad media mayor que la que tienen las disposiciones de empaquetamiento de cierre cúbico centrada en las caras, cuya densidad es apenas mayor del 70%.

En 1998 el matemático estadounidense Thomas Callister Hales presentó una prueba de la conjetura de Kepler. Constaba de 250 páginas de notas y 3 gigabytes de programas de computadora, datos y resultados, por lo que causó gran controversia inicialmente, algo similar a lo que sucedió con la demostración del teorema de los cuatro colores o la conjetura débil de Goldbach. La prueba fue aceptada finalmente en 2017.

En base a todo esto el problema 18 se considera resuelto.

Problema 19

Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?

La matemática rusa Olga Alexandrovna Ladyzhenskaya, conocida por su trabajo en ecuaciones en derivadas parciales y en dinámica de fluidos, desarrolló una teoría para la solución de problemas de valor límite para ecuaciones cuasilineales de segundo orden uniformemente parabólicas y uniformemente elípticas, que dio la solución del problema 19 para una ecuación de 2º orden.

El matemático ruso Sergei Natanovich Bernstein realizó contribuciones importantes en ecuaciones en geometría diferencial, teoría de la probabilidad, derivadas parciales, y teoría de la aproximación.

En 1904. en su tesis doctoral, Berstein resolvió el problema 19 de Hilbert sobre la solución analítica de ecuaciones diferenciales elípticas.

Los resultados obtenidos indican que dichas soluciones son siempre analíticas. Este problema se cataloga como resuelto.

Problema 20

¿Tienen solución todos los problemas variacionales con ciertas condiciones de contorno?

Este problema está resuelto en lo principal por los ingeniosos métodos de Hermann Amandus Schwarz, Carl Gottfried Neumann y Jules Henri Poincaré para la ecuación del potencial.

los esfuerzos hechos durante el siglo XX para la solución de este problema han supuesto un área importante de investigación, culminando con las soluciones al caso no lineal.

Problema 21

Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales que tienen prescrito un grupo monodrómico dado. Más precisamente: demostrar que siempre existe un sistema de ecuaciones diferenciales de la clase de Fuchs, con un conjunto de puntos singulares y grupo monodrómico preestablecido.

En 1989 el matemático ruso Andrei Andreevich Bolibrukh presentó contraejemplos que dan una respuesta negativa al problema.

Bolibrukh dedicó gran parte de sus esfuerzos al problema de Riemann-Hilbert para encontrar todas las condiciones necesarias y suficientes para que los datos de monodromia dados sean los de un sistema fucsiano, convirtiéndose en un experto en el problema 21 de Hilbert.

Debido al trabajo de Bolibrukh el problema se considera resuelto.

Problema 22

Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas.

Poincaré demostró que siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable. En 1907 generalizó la demostración para el caso de relaciones analíticas, aunque no resulta evidente si pueden determinarse las funciones para que satisfagan ciertas condiciones adicionales

El matemático alemán especializado en análisis complejo Paul Koebe demostró este resultado en forma independiente también en 1907.

Este problema por lo tanto se considera resuelto.

Problema 23

Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.

El cálculo de variaciones es una generalización de los problemas de optimización del cálculo diferencial. El primer trabajo que trata el tema sobre una base firme y rigurosa se debe al matemático alemán Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, en el siglo XIX.

Los problemas 20 y 23 de Hilbert estimularon en gran medida su desarrollo durante el siglo XX, con grandes aportes hechos entre otros por el mismo Hilbert, por Emmy Noether (a quien me he referido aquí) y Harold Calvin Marston Morse a través de la denominada teoría de Morse, que permite analizar la topología de una variedad topológica a través del estudio de funciones diferenciables en esa variedad.

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Un comentario

  1. […] David Hilbert presentó su famosa lista de problemas le preguntaron qué es lo primero que quisiera saber al despertar si se durmiera durante 100 años, […]

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