¡Qué desorientación!

Publicado por Miguel Rubio

Muchas veces pensamos que la matemática es muy abstracta y compleja, y que para hacer algo interesante hay que estudiar demasiado. Nada más alejado de la realidad. Con un poco de papel, pegamento y unas tijeras, vamos a explorar conceptos matemáticos tan importantes como la orientación del espacio, por ejemplo.

Qué es la orientación?

La orientación espacial nos permite entender conceptos abstractos como distancia y tiempo y reconocer nuestro entorno físico, el universo al que pertenecemos. La palabra orientación proviene de la palabra «oriente«, que se refiere al punto cardinal Este, por donde sale el sol, ya que el sol y la luna fueron las primeras referencias de orientación espacial.

Pero vamos a poner manos a la obra.

Comencemos por tomar una tira de papel de unos 20 o 30 centímetros de largo y unos 4 o 6 centímetros de ancho. Aproximadamente por la mitad hagamos una cruz con un marcador de algún color, digamos azul (puede ser cualquier color, pero yo voy a referirme a él como azul). Del otro lado de la cinta, aproximadamente por detrás de esa cruz vamos a hacer otra cruz pero de otro color, digamos rojo. A continuación, uniremos los dos extremos de la cinta de papel, con lo que obtendremos una superficie que en matemática se llama cilindro.

La imagen mental que tenemos del cilindro es distinta, es por ejemplo la de un vaso. Sin embargo, aunque sea mas baja y de un diámetro mayor, nuestra cinta de papel también es un cilindro.

Ahora vamos a usar la imaginación. Supongamos que del lado de “adentro” del cilindro está la cruz azul, e imaginemos que sobre ella hay una hormiga, que quiere encontrar la cruz roja, pero no sabe que está del otro lado.

La única forma en que la hormiga pueda llegar hasta la cruz roja es cruzando el borde de la cinta. La explicación es muy sencilla: la tira de papel es una superficie que tiene dos caras; en una está la cruz azul y en la otra la cruz roja. Ambas caras de la superficie están separadas por los bordes (la superficie tiene dos bordes). Esto es lo que percibimos nosotros que vivimos en un mundo de tres dimensiones.

Pero una superficie matemática es un objeto ideal, de dos dimensiones, no tiene espesor, y por lo tanto no tiene dos caras. Sólo tiene una. Imaginemos una hormiga bidimensional, que vive en esa superficie: para ella, sólo hay una cruz, no existe el “otro lado”. Sólo está en una superficie que tiene dos bordes.

Vamos a construir ahora otra superficie con el papel y pegamento.

Cortamos una tira similar a la anterior, marcamos las dos cruces con distintos colores y pegamos sus extremos, pero esta vez antes de pegarlos vamos a girar media vuelta uno de sus extremos; nos quedará una cinta un poco retorcida:

Hagamos ahora lo mismo que antes: con el bolígrafo vamos marcando el trayecto de nuestra hormiga imaginaria a partir de la cruz azul, en busca de la cruz roja.

Sorpresa! Nuestra hormiga encuentra su cruz roja ¡sin cruzar el borde! ¿Cómo ha sucedido esto? Evidentemente esta superficie tiene una sola cara. Si la hormiga sigue caminando en la misma dirección volverá a su punto de partida: la cruz azul. Podemos comprobarlo con el bolígrafo. Pero habíamos dicho que desde el punto de vista matemático las superficies no tienen caras. ¿Cuál es entonces la diferencia entre las dos superficies? Vamos a comprobarlo con nuestro bolígrafo.

Hagamos en las dos cintas una línea más cerca de uno de los bordes que de otro, de modo que quede paralela al borde.

Como podemos ver, la primera cinta tenía dos bordes bien diferenciados, pero ésta sólo tiene uno.

Esta es una diferencia que una hormiga bidimensional sabría apreciar: es una característica propia de ambas superficies que distingue claramente a una de la otra. Esta no es la única característica que las distingue, como veremos a continuación. La segunda cinta que hemos construido se denomina cinta de Möbius, y pertenece a un tipo de superficies que se denominan no orientables.

La cinta de Möbius ha inspirado entre otros a grandes artistas y arquitectos:


Escultura del artista suizo Max Bill
Proyecto de la Biblioteca Nacional
de Astaná en Kazajistán.

En 1996 se estrenó la película de ciencia-ficción argentina Möbius, inspirada en un cuento de A. J. Deutsch, A Subway Named Möbius (1950).

También algunos logos están inspirados en la cinta de Möbius:

Logo de los partidos humanistas
Símbolo internacional de reciclaje

Son famosas las obras de Escher sobre las cintas de Möbius:

Maurits Cornelis Escher fue un artista neerlandés conocido por sus grabados y sus dibujos, que consisten en figuras imposibles, teselados (una teselación del plano es un recubrimiento hecho con un patrón geométrico de manera que no queden huecos ni haya superposiciones) y mundos imaginarios:

Escher adquirió gran popularidad cuando su trabajo fue presentado por el matemático Martin Gardner en su columna de «Juegos matemáticos» de abril de 1966 en Scientific American.

Austria y los Países Bajos han emitido sellos postales que conmemoran al artista y a sus obras.

Vamos a jugar un poco más con las cintas de papel que hemos construido.

Si cortamos a lo largo de la cinta de Möbius por el centro de la misma, obtendremos una cinta más larga pero con dos vueltas.

Si a esta cinta ahora la volvemos a cortar a lo largo por el centro, obtenemos dos cintas entrelazadas.

Cuántas caras tienen estas cintas? El lector ya sabe cómo investigarlo. Es interesante comparar estos resultados con los que obtenemos haciendo lo mismo con la cinta de papel “normal”.

Ahora, hagamos en una cinta de Möbius un corte a lo largo de la misma, pero esta vez lo haremos cerca del borde.

Obtendremos dos cintas entrelazadas diferentes, una de igual longitud que la original, y otra el doble.

Cuántas caras tienen estas cintas?

Es interesante repetir el mismo corte en la cinta “normal” para comparar los resultados.

¿Por qué decimos que la cinta de Möbius no es orientable?

Imaginemos un ser plano que habitara en la cinta de Möbius y se desplazara a lo largo de ella llevando una bandera en la mano derecha: al dar una vuelta completa llevaría la bandera en la mano izquierda. En realidad, nosotros podríamos hacer esta distinción porque lo veríamos desde nuestro espacio de tres dimensiones que sí es orientable. Pero en la cinta, no tiene sentido hablar de derecha o izquierda: no hay forma de orientarse.

Aunque parezca extraño, las cintas de Möbius tienen aplicaciones prácticas:

  • Lee De Forest obtuvo en 1923 una patente norteamericana para una película de Möbius que grababa el sonido en ambas caras. La misma idea se aplicó después a cintas magnetofónicas, que pueden grabar el doble de tiempo que las normales.
  • Existe un cartucho con tinta para escribir o imprimir cuya banda tintada es una cinta de Möbius, lo que duplica su longitud efectiva. La tinta depositada en la cinta, que se mueve por medio de un rodillo transportador, se llena nuevamente por medio de una almohadilla de tinta que está en contacto con la cinta.
  • Investigadores japoneses de la Hokkaido University han demostrado que los cristales pueden crecer en forma de cintas de Möbius. En el Departamento de Física Aplicada de la Universidad de Hokkaido, el equipo de Satoshi Tanda ha conseguido sintetizar el conductor inorgánico niobium triselenide NbSe3, primer cristal con estructura de banda de Möbius. Estas estructuras podrían ser útiles en el estudio de efectos topológicos de la mecánica cuántica.

La banda de Möbius es una superficie reglada (es decir, por cada punto de la superficie pasa una recta que está totalmente incluida en la superficie) representada en nuestro espacio de dimensión tres por las ecuaciones paramétricas:

x(u,v) = cos(u) (1 + ½ v cos(½ u))

y(u,v) = sen(u) (1 + ½ v cos(½ u))

z(u,v) = ½ v sen(½ u)

donde 0 ≤ u < 2π y -1 ≤ v ≤ 1; su anchura es unitaria y su circunferencia central tiene radio 1. Se encuentra en el plano coordenado XY y está centrada en el origen de coordenadas.

Las cintas con las que hemos estado tratando hasta ahora tienen borde. Pero no todas las superficies lo tienen. Pensemos por ejemplo en una naranja, o un balón de fútbol. Son superficies que no tienen bordes, se denominan superficies cerradas. Más concretamente, la naranja o el balón son superficies cerradas orientables. Se caracterizan porque dividen al espacio que nos rodea en dos partes: una interior y otra exterior.

Cómo sería una superficie cerrada no orientable? Les presento un ejemplo:

La botella de Klein.

Si el lector observa atentamente las imágenes se dará cuenta que en esta superficie no hay interior ni exterior.

No divide al espacio en dos partes separadas, como lo haría una superficie cerrada “normal”.

Por difícil que parezca, se puede hacer un modelo en papel de esta superficie.

Aquí están los pasos que hay que dar para hacerlo:

En nuestro espacio de tres dimensiones, la superficie debe atravesarse a sí misma, como se ve en la imagen. En un espacio de cuatro dimensiones no sería necesario.

Se puede decir que el hábitat natural para una superficie cerrada no orientable es el espacio de 4 dimensiones.

Algo interesante sobre esto: la botella de Klein se puede obtener pegando los bordes de dos cintas de Möbius:

La botella de Klein se puede obtener a partir de dos cintas de Möbius.

Claro que esto resulta imposible en nuestro espacio de tres dimensiones. Sólo se puede hacer en un espacio de cuatro dimensiones.

8 marzo, 2019 Geometría Superficies Topología 2

 

2 comentarios

  1. […] en Schulpforta, Sajonia, ahora Alemania, August Ferdinand Möbius, creador de la cinta de Möbius, sobre la que ya he escrito. Fue alumno de Gauss y de Pfaff, con quienes estudió Astronomía y […]

  2. […] la obra de Escher (algunas de las cuales podemos ver aquí), mostró las creaciones de Piet Hein (como el popular cubo soma), habló sobre las sorprendentes […]

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